Question

线性代数问题，为什么r(A AB)=r(A), r(A BA)不等于r(A)？

Answer 1

更确切的说，r(A,AB)这种表示形式要求列向量上满足线性相关。把A看成列向量[a1,a2,a3]排列，与B相乘，则得到的矩阵AB用列向量[c1,c2,c3]表示，其中任何一个c均可以由a1，a2，a3线性表示，则r(A,AB)=r(a1,a2,a3,c1,c2,c3)=r(a1,a2,a3)=r(A).
同理BA中可以把A看做行向量表示，则同样可以推导出BA与A行同秩。但题目要求列同秩，所以只能说明第一项正确。

Answer 2

主要区别是B对A进行何种变换

AB是对A的列变换，不改变A的行向量之间的线性关系，也就是说，如果A的某行能用其他行线性表示，乘以B后，你还可以用相同的线性系数进行线性表示

这样，A,AB各行直接的线性关系和A完全一致，A,AB和A的秩完全一样
而BA是对A进行了行变换，变换后不再具有上述性质

Answer 3

从列向量组的秩来看，会容易很多。
AB的每个列向量，都是A列向量的线性组合。
也就是说A向量组可以线性表示AB。
即A里最大无关组可以表示A，也可以表示AB
那么那个最大无关组，也是（A AB）这个扩展矩阵的列向量组里的最大无关组。
即R（A AB）=R（A）