Question

线性代数问题？

图中画线的地方是为啥 根据公式不应该是等于么 为什么可以小于

Answer 1

这里用到矩阵的行列式的一个性质。若矩阵A为n阶矩阵，则
|tA|=t^n|A|
因为该题中的矩阵为3阶矩阵，所以
前面要乘以-1的3次方。

Answer 2

首先，题目解析中，之所以用小于等于号，是基于这个基本公式：r(AB)<=min[r(A),r(B)]
然后，事实上，当增强条件：B为A的转置时，有如下结论：r(AA^t)=r(A)
最后，对于这道题而言，无论用上述哪个公式，都可以得出r(AA^t)<5的结论，所以都是对的，只是题目解析是从r(AB)<=min[r(A),r(B)]这个角度解题

Answer 3

如图所示

Answer 4

无法理解线性代数的原因有很多，本文主要来讲讲各大高校使用的主流教材同济大学版的《线性代数》的问题。

之前写过一篇无法理解高等数学怎么办的文章，对同济大学版的《高等数学》教材进行过一些评论，认为这本教授微积分的主流教材的问题在于坡度太陡了，但逻辑主线是没有问题的，所以我们在创作《马同学单变量微积分》内容时基本上还能和此书的目录结构保持一致。

但同济大学版的《线性代数》问题就很大了，随便摘选下豆瓣的书评：

这本同济大学版的《线性代数》担得起“误人子弟”这四个字，根子上就有问题，拿着这本书学不好也情有可原。我们在创作《马同学线性代数》内容时，虽然目标是覆盖同济大学版的《线性代数》，但迫不得已对逻辑结构、目录结构进行了大规模的调整。

下面来具体讲讲同济大学版的《线性代数》问题出在哪里吧。

1 线性代数的大致内容

1.1 向量、矩阵、行列式

先简单介绍下线性代数讲的是什么内容。一个立方体、一根直线、一个平面都是线性的：

用向量就可以表示它们，比如说下图就展示了可以用三个向量\boldsymbol{u} 、\boldsymbol{v} 、\boldsymbol{w} 以及向量的加减法就可以表示一个立方体：

而矩阵可以对向量进行变换，比如通过旋转矩阵可以让某个正方形变换为旋转后的正方形：

而行列式代表的是矩阵变换前后的面积（体积）之比：

很显然旋转正方形不会导致面积改变，所以旋转矩阵变换前后的面积之比为1，或者说行列式为1：

\begin{vmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{vmatrix}=\cos\theta\cos\theta+\sin\theta\sin\theta=1

至此，线性代数最重要的几个概念就出现了，然后就可以用它们去解决实际问题了。

1.2 线性方程组

线性代数最早出现就是为了求解线性方程组，假如想求解下列线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_{1}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_{2}\end{cases}

其实就是要求出这两个方程所代表的直线的交点：

再复杂点的线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_{1}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_{2}\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_{3}\end{cases}

无外乎也是求这些方程所代表的平面的交点、交线、交面：

所以，可以通过向量组把这些直线、平面表示出来，然后通过矩阵对这些直线、平面进行变换，再用行列式判断变换的结果，最终找到方程组的解。大概就是这么一个思路吧，细节还很多，这里就不细说了。

2 同济版《线性代数》中的行列式

2.1 定义式

同济版《线性代数》的第一单元就是介绍行列式，首先介绍了二阶行列式代表如下算法：

三节行列式代表了更复杂的计算方法，因为比较复杂，所以可以靠对角线法则来进行记忆：

至于更高阶的行列式代表的计算方法就必须靠全排列和逆序数才能说得清楚，最终给出了行列式的定义：

n 阶行列式定义为：

D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

其值为：

D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}

其中，t 为排列a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} 的逆序数，\sum 表示对“1,2,\cdots,n ”的所有排列“p_1p_2\cdots p_n ”求和。

我就问问你，那个高考结束没有多久、刚刚过了一个愉快的暑假、背井离乡、来到一个陌生的地方、开始新的学习生活的你，看到这个定义怕不怕？

因为行列式是考试重点，所以紧接着就给出了十多条行列式的性质，条条看上去都凶神恶煞。

2.2 线性方程组

然后介绍了一个克拉默法则，使得可以通过行列式求解线性方程组的解。具体的算法如下，假如说线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}

有唯一解，那么所求的x_1 、x_2 为：

x_{\color{red}1}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}\color{red}{b_1}&a_{12}\\\color{red}{b_2}&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}} \quad x_{\color{red}2}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}a_{11}&{\color{red}{b_1}}\\a_{21}&{\color{red}{b_2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}

其实克拉默法则是有明确几何意义的。同济版《线性代数》这样介绍行列式以及它的用法，整个一单元一副几何图像都没有，会让你没有办法获得数学的直觉，造成很大的学习负担。

3 同济版《线性代数》更大的问题

整本书既没有强调矩阵是对向量的变换，也没有说明行列式的几何意义是变换前后的比例，这样就生生割断了矩阵和行列式之前的联系，造成我们对线性代数在后继学科中的应用缺乏全局的理解，所以也搞不清楚为什么要学习线性代数。

比如在学习多变量微积分的时候，已知S 是这么一个三维光滑曲面：

可以通过如下公式来求解它的面积：

\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2 +(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

其中S 指的是曲面面积，D_{xy} 是S 在xy 平面的投影。

这个公式应该怎么理解呢？根据微积分的思想，可以把这个曲面切成很多小份，其中某一小份的曲面面积\mathrm{d}S 可以用它的切平面的面积\mathrm{d}A 来近似（也就是有\mathrm{d}S\approx \mathrm{d}A ）：

\mathrm{d}A 在xy 平面上的投影为\mathrm{d}D_{xy} ：

现在我们有两个平面了，一个是\mathrm{d}D_{xy} ，一个是\mathrm{d}A ，根据之前对线性代数的介绍，这两个平面可以通过某个矩阵（也就是导数D ）完成转换：

\mathrm{d}D_{xy}\xrightarrow{\quad D\quad}\mathrm{d}A

那么这两个面积的比例就为该矩阵的行列式，所以最终可以得到（详细推论过程见如何解释曲面面积公式）：

\displaystyle\mathop{\iint}_{S}dS=\mathop{\iint}_{D_{xy}} \underbrace{\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2 +(\frac{\partial f}{\partial y})^2}}_{某行列式}\quad\underbrace{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}_{\mathrm{d}D_{xy}}

4 小结

综上，同济版《线性代数》主要有以下的问题：

线性代数是几何意义非常明确的数学学科，而此书内几乎毫无几何图像的讲解，导致同学完全无法建立直觉

逻辑关联性差，行列式和矩阵各行其是（以及其它的线性代数概念），似乎毫不相关，让同学无法融会贯通

仅限于代数计算，没有大局观，妨碍了其它学科的深造

作为主流教材，作为业界标杆，就算有识之士想为它写教辅，也很难不被带歪。如果不按照它的体系来写又需要一定的勇气

大家在学习的时候一定要开一个好头，可以选择参加我们的付费课程《马同学线性代数》；或者重新购买比同济版《线性代数》更好的教材，比如《线性代数及其应用》；或者观看B站、网易公开课等知名公开课视频、知名博主的视频。

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