Question

求教两道奥数题

1。 有一个凸八边形，将这8个点中任意2个点之间连线段，已知任意三条线段都没交于一点，请问所形成的图形中最多有多少个三角形？

644是答案，求详解

2.两条平行线上各有10个点，上下两点相连，可连10条线段，问最多有多少三角形？？

Answer 1

1.
将三角形分成四类，（1）三个顶点都是凸八边形的顶点；（2）有且只有2个顶点是凸八边形的顶点；（3）有且只有1个顶点是凸八边形的顶点；（4）三个顶点都不是凸八边形的顶点。
（1）有56个，从8个顶点中任选3个构成三角形有8*7*6/（1*2*3）=56个
（2）280个，每个这样的三角形都可以看作顶点 为八边形的顶点的四边形中，对角线相交构成的三角形中的一个；从8个顶点中任选4个构成四边形（顶点为八边形的顶点中的四个），有8*7*6*5/（1*2*3*4）=70个，每个四边形对角线相交，贡献4个这样的三角形，70*4=280；
（3）280个，每个这样的三角形都可以看作以八边形的顶点为顶点 的5边形中一个（有且只有1个顶点是5边形的顶点）三角形，每个五边形内有5个，从8点中任选5个有8*7*6/（1*2*3）=56种，5*56=280
（4）28个，从8个顶点中任选6个构成6边形，其对角线相交（任意三条线段都没交于一点）贡献1个三个顶点都不是凸八边形的顶点的三角形，这样的六边形有8*7/（1*2）=28个
56+280+280+28=644。
2.当所有交点不重叠时构成的三角形最多。构成的三角形共2类：
（1）3顶点都在两线上的三角形。
在一条直线上任选2个点有10*9/（1*2）=45种，与另线上的一点构成一个3顶点在两线上的三角形，
45*10*2=900，
（2）只2顶点在两线上的三角形
在2条直线上各任选2个点，构成四边形有45*45种，每个四边形中贡献4个只2顶点在两线上的三角形，4*45*45=8100。
8100+900=8900个
补充：1（3）也可：设凸八边形的八个顶点依次是A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8，只选定A1，有关对角线有5条，与A2发出的5条对角线交点依次是5、4、3、2、1个，依次贡献只含顶点A1的三角形5*4/2*1=10个，4*3/2*1=6个，3*2/2*1=3个，1个，共20个；
与A3发出的4条对角线（不含A1A3下同）交点依次是4、3、2、1个，依次贡献含顶点A1的三角形4*3/2*1=6个，3*2/2*1=3个，1个，共10个；与A4发出的3条对角线（不含A1A4、A2A4下同）交点依次是3、2、1个，依次贡献含顶点A1的三角形，3*2/2*1=3个，1个，共4个，……1个，共35个。35*8=280。其它各问也可以这样作。

Answer 2

这都是组合数学
第一题要先求得交点数,然后再任意取3

第二题没看懂,怎么只连十条线段?