Question

求一个定积分

这个定积分能不能算出来？

Answer 1

换元，注意定积分是对t积分，因此x可以视为常数：
(下面是用 ∫[a,b] f(x)dx 来表示在[a,b]上对f(x)做积分）
g(x)=(1/x) ∫[0,1] x*f(xt) d(t)
令u=xt, 因此积分上下限从t在[0,1]变为u 在[0,x]上；
g(x)= (1/x) ∫[0, x] f(u) du （可以看为1/x 与后面的变下限积分函数相乘）
由此g'(x) = (-1/x^2) ∫[0, x] f(u) du + (1/x) f(x)
再由极限式可知f(0)=0，因此g'(x)在x趋向于0的时候的极限就可以用洛必达法则求了。