Question

函数问题！

已知函数F(X)的定义域（0，+∞），当X>1时，F(X)>0，且F(X*Y)=F(X)+F(Y)
(1)求F(1)
(2)证明F(X)在定义域上是增函数
（3）如果F（1/3）=-1,求满足不等式F(X)-F(1/X-2)>=2的X取值范围

Answer 1

F(X*Y)=F(X)+F(Y)
令X=Y=1，f（1）=f（1）+f（1）
所以f（1）=0
设0＜x1＜x2
f（x1）-f（x2）
=f（x1）-f（x1*（x2）/（x1））
=f（x1）-f（x1）-f（x2/x1）
=-f（x2/x1）
因为x2/x1＞1，所以f（x2/x1）＞0
所以函数在定义域上是增函数

f（3*（1/3））=f（1）=f（3）+f（1/3）
所以f（3）=1
f（9）=f（3*3）=f（3）+f（3）=2

F(X)-F(1/X-2)>=2等价于
F(X)-F(1/X-2)>=F（9）
等价于
x＞0
1/（x-2）＞0
x/（x-2）≥9

所以
x≥9/4