Question

若x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,求x+y的最值。

利用均值不等式`

Answer 1

(x+y)^2≥4xy
又xy=1+x+y
故(x+y)^2≥4(1+x+y)
令x+y=t
(t>0)
则t^2≥4(1+t)
t^2-4t-4≥0
根据二次函数图象得t≥2+2√2
即x+y最小值为2+2√2
,
无最大值

Answer 2

(x+y)^2>=4xy
又xy=1+x+y
故(x+y)^2>=4(1+x+y)
令x+y=t
(t>0)
则t^2>=4(1+t)
t^2-
4t
-4>=0
根据
二次函数
图象得t>=2+2*(根号2)
即x+y最小值为2+2*(根号2)
,
无最大值

Answer 3

2(xy)^(1/2)<=x+y,所以
1=xy-(x+y)<=(x+y)^2/4-(x+y)
设x+y=2t
所以1<=t^2-2t
2<=(t-1)^2,
t>0
t>=2^1/2+1
所以x＋y最小值为：2^(1/2)/2+1/2,无最大值

Answer 4

XY=1+X+Y
（1）
XY≤1/4（X+Y）^2
（2）
把1式带入2式可以算出
X+Y≥2^2+2