Question

设函数f（x）=ax^2+bx+c(a>0),且f(1)=-a/2

1、求证：函数f(x)有两个零点 2、设x1,x2是函数fx的两个零点,求x1-x2的范围 3、求证函数f(x)的零点x1,x2至少有一个在区间（0,2）内

Answer 1

1、f（1）=a+b+c=-a/2
得b=-3a/2-c
△=b^2-4ac=(-3a/2-c)^2-4ac=9a^2/4-ac+c^2
=2a^2+(a/2-c)^2
∵a>0
∴△>0，所以ax^2+bx+c=0有两个解
∴函数f（x）有两个零点
2、（x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-b/a)^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2
△=b^2-4ac=(-3a/2-c)^2-4ac=9a^2/4-ac+c^2
所以（x1-x2）^2=（9a^2/4-ac+c^2）/a^2=(c/a)^2-c/a+9/4=(c/a-1/2)^2+2
当c/a=1/2时，取的最小的√2
所以｜x1-x2｜≥√2（如果直接说明x1>x2的话，就不需要加绝对值了。）
3、证：
b=-3a/2-c,c=-3a/2-b
求根公式：x^2=【-b±√△】^2/4a^2
=（b^2±2b√△+△）/4a^2