Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b（2）...

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值． （1）求a，b （2）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （3）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3ax2+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0.
解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x3-3x，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（3）曲线方程为y=x3-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x30-3x0．
因f′(x0)=3(x20-1)，故切线的方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0)
注意到点A（0，16）在切线上，有16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0)化简得x30=-8，解得x0=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．