Question

如图,点M是矩形ABCD边AD的中点,点P是BC边上一东电

如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F.(1)探索:当矩形ABCD的边AB与宽BC满足什么数量关系时,四边形PEMF为矩形?请加以证明.(2)探索:在(1)中,当点P运动到BC的什么位置时,矩形PEMF成为正方形?请加以证明.

Answer 1

1、只有在∠BMC=90°时四边形PEMF才是矩形 也就是 BC=2AB 时
证明 ：求四边形PEMF为矩 ∴∠BMC=90° 由题意得△BMC是等边直角三角形
∴∠MBC=∠MCB=∠ABM=∠DCM=45° ∴△ABM为等边直角三角形
∴线段AB=AM ∵AD=BC M是AD重点 ∴BC=2AB
2中点 还要证明吗？虽然一目了然但证明起来很麻烦的！

Answer 2

（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵PEMF为矩形，
∴∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP ，
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．