Question

函数f(x)x-x^3/sinx的可去间断点

已知函数f(x)=(x-x^3)/sin(πx),那么以下几个选项哪个正确（）
A.有无穷多个第一类间断点 B.只有一个可去间断点
C.有两个跳跃间断点 D.有三个可去间断点
请说明理由,如果解释得比较好,再追加您分数,

Answer 1

x-x^3
=x(1-x^2)
=x(1-x)(1+x)
分子在x=0 1 2的时候等于0
分母sin(πx)=0
πx=2kπ
x=2k,k为整数.
只有x=0的时候,分子分母同时为0,用洛比达法则
f'|x->0=(1-2x^2)/cos(πx)
左右极限存在且均为1
所以是一个可取间断点
其他间断点导数不存在,所以不是第一类间断点
所以选择B

Answer 2

分母在x=0 1 2....为0
分子 x-x*3=x(1-x*2)=0 x=0,1,-1
f(x)x趋于0时,原式=x-x*3/πx=1-x*2/π=1/π 等价代换(sinπx=πx)
x趋于1+时，原式=1-3x*2/πcosπx=-2/π 非0因子（cosπ=1)
同理，x趋于1-时，原式极限=-2/π
所所以有三个可去间断点