Question

若数列{an}的前n项和为sn，且满足an+2snsn-1=0（n≥2），a1=...

若数列{an}的前n项和为sn，且满足an+2snsn-1=0（n≥2），a1=1 （1）求证：{1sn}成等差数列 （2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵an=sn-sn-1，an+2snsn-1=0（n≥2），
∴sn-sn-1+2snsn-1=0．两边除以snsn-1，并移向得出1sn-1sn-1=2(n≥2)，
∴1sn-1sn-1=2(n≥2)
∴{1sn}是等差数列，公差d=2．
（2）由（1）{1sn}是以1s1=1a1=1为首项，以2为公差的等差数列
∴1sn=1+2(n-1)=2n-1，故sn=12n-1．
∴当n≥2时，an=sn-sn-1=12n-1-12n-3=-2(2n-1)(2n-3)
当n=1时，a1=1不符合上式
所以an=1，n=1-2(2n-1)(2n-3)，n≥2．