Question

是否在常数abc使等式

是否存在常数abc,使等式1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an∧4
+bn²+c对正整数n都成立?证明你的论点

Answer 1

1×（n²-1²）+2×（n²-2²）+…+n（n²-n²）
=1n^2+2n^2+……+n*n^2-(1^3+2^3+3^3+……+n^3)
=(1+2+.+n)*n^2-(1^3+2^3+3^3+……+n^3)
=n(n+1)n^2/2-n^2(n+1)^2/4
=n^4/2+n^3/2-n^2(n^2+2n+1)/4
=n^4/2+n^3/2-n^4/4-n^3/2-n^2/4
=n^4/4-n^2/4
=an^4+bn^2+c
得a=1/4 b=-1/4 c=0
.即是存在常数abc,等式成立.
也可以试试用归纳法证明.