Question

证明不等式1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

Answer 1

证明:用第二数学归纳法证明之。
1、当n=1时，命题显然成立。即:1/2＜ln3-ln2＜1(1);设命题当n≤k时都成立。即当n=2时，有:1/3＜ln3-ln2＜1/2(2);。。。;将前k-2个不等式两边分别相加得:1/2+1/3+1/4+。。。+1/(k-1)＜ln(k-1)＜1+1/2+1/3+1/4+。。。+1/(k-2)(**);当n=k-1时，又有:1/k＜lnk＜1/(k-1)。将上述前k-1个不等式的左右两端分别相加得:1/2+1/3+1/4+。。。+1/k＜ln(k-1)＜1+1/2+1/3+1/4+...+1/(k-1)(*)。(**)式-(*)式得:1/k＜lnk-ln(k-1)＜1/(k-1)。所以命题对n=k-1是成立的。下面来看n=k时的情形。
2、当n=k时，就是要证:1/(k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k。用反证法来证之。假定命题对n=k时不成立，即:1/(k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k不成立，那么就有:ln(k+1/k)＞1/k①，且ln(k+1/k)＜1/(k+1)或-ln(k+1/k)＞-1/(k+1)②成立。于是①式+②式得:0＞1/k-1/(k+1)=1/k(k+1)。于是有:k(k+1)＜0，但是k＞0。所以此不等式的解只能是:k＜-1。此与k是正整数矛盾!所以假设不正确。综上所述，命题对于一切自然数n都成立。