Question

已知正项数列{an}对任意的n∈N*,都有a1³+a2³+...+an³=(a1+a2+...+an)²

已知正项数列{an}对任意的n∈N*,都有a1³+a2³+...+an³=(a1+a2+...+an)²
(1)求a1,a2的值
(2)求数列{an}的通项公式an

Answer 1

1）当n=1时，等式有a1³=a1²，得a1=1
当n=2时，等式有1+a2³=(1+a2)²， 得a2³=2a2+a2²，得a2=2

2)
a1=1, a2=2, 假设当k=n-1时，有a(k-1)=n-1,
则当k=n时，有：
a1³+a2³+... ............+an³=(a1+a2+..........+an)²
a1³+a2³+...+a(n-1)³ =(a1+a2+...+a(n-1))²
两式相减得：an³=[2(a1+...+a(n-1))+an]an
an²=2S(n-1)+an
而S(n-1)=a1+...+a(n-1)=n(n-1)/2
故an²=n(n-1)+an
得：an²-an-n(n-1)=0
(an-n)(an+n-1)=0
得an=n
由数学归纳法，得an=n对任意自然数n成立。