Question

一道难题请教高手

在ABC中，CD，AE，BF分别为BC，AC，AB长的1/3。求Sn1n2n3与Sabc之比。

Answer 1

有时集合问题可以转换为代数问题

做平行线NN2‖BC 

设AB=c,BC=a,CA=b,FN=k，NN2=t；

NN2/BD=AN/NB→3t/a=(c/3+k)/c…………（1）,

NN2/BC=FN/FB→t/a=k/(2/3c)…………（2）;

消去t/a，k/c=2/21;

所以 FN2/FC=FN/FB=1/7

所以 S(AN2C)=6/7S(AFC)=1/3*6/7S(ABC)=2/7S(ABC)

同理 S(BN1A)=2/7S(ABC);S(CN3B)=2/7S(ABC)

所以 S(N1N2N3)=S(ABC)-S(AN2C)-S(BN1A)-S(CN3B)

              =S(ABC)-3*2/7S(ABC)

              =1/7S(ABC)