Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0), 过点(1,√2/2）,离心率为√2/2，左

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0), 过点(1,√2/2）,离心率为√2/2，左右焦点为F1,F2;O点为坐标原点 ⑴求椭圆C的标准方程 ⑵过F1作倾斜角为30度的直线交椭圆于A、B两点，求三角形AOB的面积

Answer 1

(1)e=√2/2→√(1-b²/a²)=√2/2
∴a²=2b² ①
椭圆过点(1，√2/2)，则
1²/a²+(√2/2)²/b²=1 ②
解①、②得，a²=2，b²=1.
故椭圆为: x²/2+y²=1.

(2)c²=a²-b²=2-1=1，
故F1为(1，0)，
即焦点弦为:
y-0=tan30°(x-1)
→√3x-3y-√3=0.
依点线距公式得三角形高
h=|√3·0-0-√3|/√12=1/2;
依焦点弦长公式得
丨AB|=2ab²/(b²+c²sin²θ)
=2√2/(1+sin²30°)
=8√2/5.
故三角形面积
S=1/2×|AB|×h
=1/2×1/2×8√2/5
=2√2/5。