Question

高等数学，定积分，要过程

向左转|向右转

Answer 1

∵f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2+1/2
∴f(0)=1/2
两端对x求导得f(x)满足微分方程：f'(x)+2f(x)=2x
对应的齐次方程：y'=-2y
ln|y|=-2x+lnC
y=Ce^(-2x)
设特解为：y*=C(x)e^(-2x)
则：y*'=C'(x)e^(-2x)-2C(x)e^(-2x)
C'(x)e^(-2x)-2C(x)e^(-2x)+2C(x)e^(-2x)=C'(x)e^(-2x)=2x
C'(x)=2xe^(2x)
C(x)=2∫xe^(2x)dx=xe^(2x)-∫e^(2x)dx=xe^(2x)-1/2e^(2x)=(x-1/2)e^(2x)
∴y*=(x-1/2)e^(2x)e^(-2x)=x-1/2
从而原微分方程的通解：y=Ce^(-2x)+x-1/2
代入f(0)=1/2得：1/2=C-1/2
C=1
∴f(x)=e^(-2x)+x-1/2
f'(x)=-2e^(-2x)+1
令f'(x)=0,得：2e^(-2x)=1
e^(-2x)=1/2
-2x=-ln2
x=ln2/2
∵f''(x)=4e^(-2x)>0
∴当x=ln2/2时取得极小值f(ln2/2)=e^(-2*ln2/2)+ln2/2-1/2=1/2+ln2/2-1/2=ln2/2
选C
太辛苦了，望采纳加以鼓励！