Question

离散信号的Z变换

Answer 1

在处理离散信号时，Z变换是2113一种简单而有效的5261方法，是研究离散信号的有力工具4102，主要讨1653论Z变换的引进、Z变换的收敛域及Z变换的性质。
1.Z变换的引进
研究离散时间序列的有用工具是Z变换。因为我们知道，不是所有离散时间序列都存在傅氏变换的，由于
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等式右边是一个无穷级数，存在收敛与不收敛的问题。其收敛条件是
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即只有当X(eiω)<∞时，离散时间傅氏变换才存在。而
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所以离散时间傅氏变换存在的条件是
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这也是一个稳定系统要求的条件(稳定条件)，即一个稳定系统要求
,也就是要求这个系统的频响H(eiω)存在。下面看两个例子:
例1
当n增大时，x(n)越来越小，显然
是收敛的，实际上
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序列x(n)绝对可和，所以其傅氏变换X(eiω)存在。
例2
当n增大时，x(n)越来越大，显然
发散，实际上
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序列x(n)不是绝对可和的，所以其傅氏变换X(eiω)不存在。对于不是绝对可和的序列，也可以像连续拉氏变换一样乘一指数衰减函数，使序列绝对可和，即是在序列x(n)上乘以r-n，使得
绝对可和。
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上式可改写为
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若令
则
式(5-2-2-)称为x(n)的Z变换。即x(n)r-n的傅氏变换，当r=1时，Z=e-iω，于是
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即x(n)的傅氏变换。因此Z变换是离散时间傅氏变换的推广。
例1
对于有限序列
{x(n)}={x(-2)，x(-1)，x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={8，3，-2，0，4，-6}，根据(5-2-2)，其Z变换为
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例2
考虑如下离散信号的Z变换
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根据(5-2-2)得到
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例3
对于序列
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根据(5-2-2)，其Z变换为
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2.Z变换的收敛域
一个时间序列的Z变换，实际上是时间序列x(n)的罗朗级数展开式。与拉氏变换一样，Z变换也有一个收敛不收敛的问题。因为Z变换是一个Z的幂级数，它也有收敛与否的问题。
对于给定的序列{x(n)}={…，x(-2)，x(-1)，x(0)，x(1)，…}，其Z变换可以改写为
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首先看(5-2-3)式右端第一个级数的收敛问题
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假设在点Z=Z1，级数(5-2-4)收敛，则有
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如果Z1<Z，由于n的取值全部是负的，则有x(n)Zn<x(n)Zn1，于是得到
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因此证明，当|Z1|<|Z|时，级数(5-2-5)绝对收敛。再看级数
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假设在点Z=Z2，级数(5-2-6)绝对收敛，即有
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如果|Z|<|Z|1，则因|x(n)Z|n<|x(n)Zn1|，于是得到
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由此证明，当|Z|<|Z2|时，级数(5-2-7)是绝对收敛的。
综上所述，若用Rx+表示使级数(5-2-3)绝对收敛的Z中最大者，用Rx-表示使级数(5-2-3)绝对收敛的Z中最小者，可得到Z变换(5-2-3)的收敛域为一环域Rx-<|Z|<Rx+。
例1
序列{x(0)，x(1)，x(2)，x(3)，x(4)}={1，-1，3，5，-2}则其Z变换为
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其收敛域为|Z|<∞
例2
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收敛域为
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例3
对于序列x(n)=-3n
-1≤n≤-∞
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收敛域为
例4假设序列
根据例1和例2，其Z变换为
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其收敛域为一环域
。