Question

设二维随机变量的联合密度函数为f（x，y）=xe^-x（1+y），求期望和方差，E（xy）？

Answer 1

E(X)=∫(0,1)x[∫(0,1)f(x,y)dy]dx。而，∫(0,1)f(x,y)dy=∫(0,1)xe^[-x(1+y)]dy=e^(-x)-e^(-2x)。
∴E(X)=∫(0,1)x[e^(-x)-e^(-2x)]dx=(1-2/e)-(1/4)(1-3/e²)=(3/4)(1+1/e²)-2/e。同理，E(X²)=∫(0,1)x²[e^(-x)-e^(-2x)]dx=…=7/4-5/e+(5/4)/e²。∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=7/4-5/e+(5/4)/e²-[(3/4)(1+1/e²)-2/e]²。
E(XY)=∬Dxyf(x,y)dxdy=∫(0,1)x²∫(0,1)ye^[-x(1+y)]dy=∫(0,1)[e^(-x)-(x+1)e^(-2x)]dx=…=(1/4)(1-4/e+5/e²)。