Question

线性代数 行列式？

Answer 1

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

　　　　其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

　　性质:

1. 矩阵与它的转置行列式相等；

2. 互换行列式的两行（列），行列式变号；

3. 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；

4. 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；

5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；

6. 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.

Answer 2

属于反三角矩阵。
这里就是反对角线行列式，不断使用行或列的展开即可
按a1n，a2,n-1，……an,1
陆续展开得到
D=n*n*(-1)^(n+1) *(n-1) (-1)^n …… *1
=n *(n-1) *…… *1 *(-1)^(n+1+n+n-1+……+1)
=n *(n-1) *…… *1 *(-1)^[n(n+1)/2]
对于本题，是用公式即可得
=(-1)^[n(n-1)/2]*n!

Answer 3

两题都是通过行列交换变成三角阵实现
2）把第一列通过n-1次交换，换到最后一列，得到(-1)^(n-1) n!
3) 第一行和最后一行交换，第二行和倒数第二行交换
如果n是偶数，则进行n/2次交换后得到(-1)^(n/2) n!
如果n是奇数，则进行(n-1)/2次交换后得到(-1)^((n-1)/2) n!

Answer 4

第2题n!
第3题貌似等于零，我没有仔细去看。