Question

直线与平面夹角？

Answer 1

.直线SA与面SCD所成角的正弦值，无疑就是用A点到面SCD的距离h，比上SA的距离，SA已知为1，故，只需求出A到面SCD的距离h即可，可通过四面体体积的转换法求出h：
取SC中点F，连接FD，取BC的中点E，连接DE
观察四面体SACD
∵SA⊥面ABCD，无疑，SA为四面体SACD中面ACD上的高，∴四面体SACD的体积可表示为：S△ACD*SA/3
①
而△ACD的面积可由直角梯形ABCD与三角形ABC的面积相减得来，代入各已知边长，可求出为：S△ACD=S直角梯形ABCD-S△ABC=(AD+BC)*AB/2
-
AB*BC/2=1/4
将此值代入四面体SACD的①表达式，可得其体积为V(SACD)=1/12
∵h为A点到面SCD的距离，∴SACD的体积显然还可以表示成:V(SACD)=h*S△SCD/3=1/12
②
问题的关键在于求出△SCD的面积：
由于E为BC中点，∴BE=CE=BC/2=1/2，于是BE=AD，且∵AD‖BC，∴四边形ABED为矩形，有AB‖DE且DE=AB=1
由于∠ABC=90°，AB⊥BC，于是DE⊥BC，∠DEC=90°
SA⊥面ABCD，有SA⊥AD，∠SAD=90°
于是在Rt△SAD与Rt△DEC中，两对直角边SA=DE=1，AD=CE=1/2，故斜边SD=SC
=√5/2
由此可知△SCD为等腰三角形，底边SD的三线合一，F为SC中点，∴DF⊥SC，且CF=SC/2
由SA⊥面ABCD，可得SA⊥AB，SA⊥BC，且BC⊥AB，故BC⊥面SBA，∴BC⊥SB，SB可在Rt△SAB中求出为√2，SC可在Rt△SBC中求出为√3
于是CF=SF=√3/2
可在Rt△CFD中求出DF=√2/2
故，S△SCD=SC*FD/2=√6/4
代入②，可得出:
(√6/4)*h/3=1/12
<=>h=√6/6
故，SA与面SCD所成角的正弦值为h/SA=√6/6