Question

请问一下这两道高等数学的题目怎么做？

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Answer 1

分享解法如下。1小题，设AD=a，CD=b，AD与AB间的夹角为θ(0≤θ≤π/2)。∴CD与AB间距离d=asinθ。AB=b+2acosθ。按照题设条件，有2a+b=8p。∴b=8p-2a。
画出草图，应用几何知识易得绕AB的旋转体体积V=π(b+2acosθ/3)d²=2πa²(4p-a+acosθ/3)sin²θ。
由V分别对a、θ求导，并令其值为0。∴∂V/∂a=2πa(8p-3a+acosθ)sin²θ=0①、∂V/∂θ=2πa²[-asin²θ/3+2(4p-a)cosθ+2acos²θ/3]sinθ=0②。由①、②解得驻点为a=0，θ=0、a=3p，θ=arccos(1/3)。∴Vmin=0，此时AB=CD=8p，AC=BD=0。Vmax=64πp³/3，此时AB=4p，CD=2p，AB=3p。
2小题。设∑ai=L（ai>0，i=1.2，…，n）。转化为在“∑ai=L”约束条件下。求M=(∏ai)^(1/n)的最大值。
构造拉格朗日函数F(.)=F(a1,a2,…,an；λ)=M+λ(L-∑ai)。由F(.)对ai、λ求导，并令其值为0。∴∂F(.)/∂ai=[1/(nai)]M-λ=0①，∂F(.)/∂λ=L-∑ai=0。由①有，M/n=λai。将其从1到n求和，有M=λL。再代入①有ai=L/n。
又，驻点ai=L/n唯一、且M的最大值存在。∴ai=L/n时，M取得最大值。此时M=L/n，即(∏ai)^(1/n)≤L/n=(1/n)∑ai成立。