Question

二次函数f(x)=x^2-x+1 在区间[-1,1]，y=f(x)图像恒在y=2x+m的图像上方，确定m范围

Answer 1

上方则x²+x+1>2x+m恒成立
x²-x+1>m
(x-1/2)²+3/4>m
左边开口向上，对称轴x=1/2
-1<=x<=1
所以x=1/2，左边最小=3/4
所以只要m小于这个最小值即可
所以m<3/4

Answer 2

由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=3/2 ，所以g（x）在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，
解得m＜-1．

Answer 3

由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=3/2

，所以g（x）在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

Answer 4

上方则x²+x+1>2x+m恒成立
x²-x+1>m
(x-1/2)²+3/4>m
左边开口向上，对称轴x=1/2
-1<=x<=1
所以x=1/2，左边最小=3/4
所以只要m小于这个最小值即可
所以m<3/4