Question

设f(x)在[0,2]连续,且f(0)=f(2),证明:在[0,2]上存在点ζ,使f(ζ)=f(1+ζ)

Answer 1

因为f(0)+2f(1)=6
所以（f（0）-2）（f（1）-2）=（-2）*（2-f（1））^2<=0
1）如果f（0）-2和f（1）-2都不为零，则它们异号，所以h（x）=f（x）-2在（0，1）上憨海封剿莩济凤汐脯搂至少有一个零点c，即f（c）-2=0，又因为f（2）=2，所以区间（c，2）之间存在一点ζ，使得f'(ζ)=0.
2）如果f（0）-2和f（1）-2中有至少有一个为零，则显然结论也成立。

Answer 2

证明:作函数F(x)=f(x)-f(x+1)
则F(x)在[0,1]上是
连续函数
,且
F(0)=f(0)-f(1),
F(1)=f(1)-f(2)=f(1)-f(0)=-F(0)
(1)
若F(0)=0,则命题成立,此时ζ=0或1.
若F(0)不为零,则不妨设F(0)>0,则由(1)式知F(1)<0.
于是由根的存在定理知,存在ζ属于[0,1]当然也在[0,2]上,使得
F(ζ)=0,即有f(ζ)=f(1+ζ).

Answer 3

根据题意可得：在(a,b)内至少有一点ξ(a
<
ξ
<
b)，使得
f(ξ)为最值.
若令x1∈[0,ξ],x2∈[ξ,2],且f(x1)=f(x2),则必然存在无数对满足条件的x1和x2。
又因为f(0)=f(2)，f(ξ)为最值，则x2-x1∈[0,2].
又因为f(x)在[0,2]连续，即，f(x)在[0,ξ]和[ξ,2]也分别都是连续的，
所以x2-x1也是连续的，即必有x2-x1=1
所以存在一个ζ，使f(ζ)=f(1+ζ)