Question

隐函数方程求导

Answer 1

例如：方程2x^2+y^2+z^2=ye^z,求z对x，y的偏导数。

可以有以下两种方法：

• 全微分计算偏导数：

2x^2+y^2+z^2=ye^z,两边同时求导，得：

4xdx+2ydy+2zdz=e^zdy+ye^zdz

4xdx+2ydy-e^zdy=(ye^z-2z)dz,

(ye^z-2z)dz=4xdx+(2y-de^z)dy

dz=[4x/(ye^z-2z)]dx+[(2y-e^z)/(ye^z-2z)]dy,

则：dz/dx=4x/(ye^z-2z),

dz/dy=(2y-e^z)/(ye^z-2z)。

• 构造函数法：

F(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2-ye^z,

则F分别对x，y，z的偏导数为：

F'x=4x,F'y=2y-e^z,F'z=2z-ye^z;则:

dz/dx=-F'x/F'z=-4x/(2z-ye^z)

dz/dx=4x/(ye^z-2z);

dz/dy=-F'y/F'z=-(2y-e^z)/( 2z-ye^z)

=(2y-e^z)/(ye^z-2z)。