Question

微分方程y'=e^x-y通解为（高数）？

Answer 1

求微分方程y'=e^x-y的通解；
解：先求
齐次方程
y'=-y的通解：分离变量得
dy/y=-dx；积分之得
lny=-x+lnc；
故齐次方程的通解为：y=ce^(-x)；将c换成x的函数u，得y=ue^(-x)..........①
将①对x取导数得：y'=u'e(-x)-ue^(-x)..........②
将①②代入原式并
化简
得：u'e^(-x)=e^x；故u'=e^(2x)；
∴
u=∫e^(2x)dx=(1/2)∫e^(2x)d(2x）=(1/2)e^(2x)+C..........③
将③代入①式即得原方程的通解为：
y=(1/2)e^x+Ce^(-x);