Question

四棱锥S-ABCD中,平面SAC与底面ABCD垂直,侧棱SA、SB、SC与底面成角均为45°,AD‖BC,且AB=BC=2AD

求证，四边形ABCD是直角梯形
求异面直线SB与CD所成角的余弦值

Answer 1

（1）作SO垂直于AC，垂足为O.
∵平面SAC⊥底面ABCD，SO在平面SAC内，平面SAC∩底面ABCD=AC
∴SO⊥底面ABCD，
又侧棱SA、SB、SC与底面成角均为45°，
∴∠SOA=∠SOB=∠SOC=45º，
△SOA≌△SOB≌△SOC，
OA=OB=OC
∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形.
又AD‖BC，BC=2AD，
∴四边形ABCD是直角梯形.
（2）延长DA至E，使得AE=AD，连结SE，BE，OE，OD，
设AD=1，
在四边形EBCD中，EA=AD=(1/2)BC，AB⊥BC，ED‖BC，
在Rt△SOB中，∠SBO=45º，
由平面几何知识可知，BE=√5，SB=2，OE=√5，SB=√7，，
由余弦定理可得，cos∠SBE=(√5）/10，
易知，EB‖DC，
∴异面直线SB与CD所成角就是直线SB与BE所成角即∠SBE，
因此，异面直线SB与CD所成角的余弦值为(√5）/10.