已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA，求证：点D在线段AC的垂直平分线上
已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA，求证：点D在线段AC的垂直平分线上...
已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA，求证：点D在线段AC的垂直平分线上
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证明:
连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形.
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE
则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°
∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2
即BD^2=AB^2＋BC^2
连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形.
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE
则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°
∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2
即BD^2=AB^2＋BC^2
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