Question

如何证明AB的转置等于B的转置乘以A的转置?

Answer 1

如下：

设 AB = C

先考虑 row combination

设 a 为 A 中一行，c 为 C 中对应 a 的一行

那么 c = aB，即 c 为 B 中各行的线性组合（linear combination）

（而 a 则告诉 B 该如何组合）

当 A、B、C 转置后，c 变成一列设为 c'，对应的 a 也变为一列设为 a'

此时要考虑 column combination

c' 即转变为 B' 中各列的线性组合，即 c' = B'a'

（在列的线性组合中，告诉 B 如何进行线性组合的矩阵应该右乘 B）

上述推导对每一行都成立，那么就有：

C' = B'A'

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。

一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。

1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。