Question

为什么1-cosx等价于1/2x的平方?

Answer 1

由泰勒公式可得：

cos x =1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!

所以1-cos x=x^2/2!-x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!

所以1-cosx~1/2x^2。

为什么1-cosx=2sin^2x\2。

由倍角公式cos2x=1-2(sinx)^2。

可知2(sinx)^2=1-cos2x。

令x=x/2。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值） 。