Question

线性无关的特征向量是什么？

Answer 1

特征向量系是线性代数的重要概念之一。若线性变换的特征向量系所含向量个数等于 n，则称其特征向量系是完全的。

判断特征向量线性无关的方法：

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。

对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。

梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。

否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。

若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。

否则向量组线性相关。

例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。

判断特征向量线性无关的方法：

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。

对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。

梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。

否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。

若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。

否则向量组线性相关。

例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。