Question

lnx+1的泰勒展开式是什么？

Answer 1

ln(x+1)的泰勒展开式可以通过将ln(x+1)的函数展开为无穷级数来表示。这个级数称为泰勒级数，可以通过对ln(x+1)在x=0处进行多项式展开得到。
ln(x+1)的泰勒展开式如下：
ln(x+1) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
这个级数是一个无穷级数，其中每一项都包含一个x的幂次和对应的系数。系数是由阶乘的倒数来确定的，即第n项的系数为 (-1)^(n-1) / n。
这个级数在x=0附近收敛，当x的取值在-1到1之间时，该级数的收敛性最好。如果需要更高精度的近似，可以使用更多的项来计算级数。

Answer 2

要计算函数 f(x) = ln(x + 1) 的泰勒展开式，我们可以使用泰勒公式来展开函数。

泰勒公式的一般形式为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)^2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)^3 + ...

其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a) 等分别表示函数 f(x) 在点 a 处的一阶、二阶、三阶导数。

对于 f(x) = ln(x + 1)，我们可以选择 a = 0 作为展开点，因为在这个点附近有简单的导数计算。

首先，我们需要计算函数及其各阶导数在 a = 0 处的值：

f(x) = ln(x + 1)

f'(x) = 1 / (x + 1)

f''(x) = -1 / (x + 1)^2

f'''(x) = 2 / (x + 1)^3

然后，我们将这些导数值代入泰勒展开式中，展开到适当的阶数。

ln(x + 1) ≈ f(0) + f'(0)(x-0) + (1/2!)f''(0)(x-0)^2 + (1/3!)f'''(0)(x-0)^3

= ln(1) + 1/(1)(x) + (1/2!)(-1/(1)^2)(x)^2 + (1/3!)(2/(1)^3)(x)^3

= 0 + x - (1/2)x^2 + (2/6)x^3

= x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3

因此，ln(x + 1) 的泰勒展开式为 x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3。请注意，这个展开式只在 a = 0 附近适用，并且在更远的区域内可能不再准确。