Question

已知双曲线x²/16-y²/9=1的两焦点分别为F₁、F₂？

P为双曲线上一点，且⦣F₁PF₂=𝛑/2，求△F₁PF₂的面积。麻烦各位写出过程，谢谢

Answer 1

首先，由双曲线的定义有
|PF1-PF2|=2a
因为a=4,
也就是|PF1-PF2|=8
则PF1²+PF2²-2PF1×PF2=64
而又因为∠F1PF2为直角，
所以有PF1²+PF2²=(2c)²
又因为c²=a²+b²
所以，c=5
所以PF1²+PF2²=100
由以上得，PF1×PF2=18
所以△PF1F2的面积为：
1/2PF1×PF2=9

Answer 2

不妨令F1和F2分别是双曲线的左右焦点，P在右半支上
双曲线a^2=16，b^2=9，c^2=a^2+b^2=25
得：a=4，b=3，c=5
根据双曲线的几何定义：
|PF1|-|PF2|=2a=8……①
|F1F2|=2c=10……②
再根据勾股定理，有
|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2=100……③
③-①^2，得：
|PF1|^2+|PF2|^2-(|PF1|-|PF2|)^2=100-8^2
2*|PF1|*|PF2|=36
所以S△F1PF2=(1/2)*|PF1|*|PF2|=9

Answer 3

这个有一个公式是可以用的，双曲线上一点P与焦点形成的三角形中若角P度数为2θ，则这个三角形的面积是b²/tanθ，这个题目中b²=9，所以面积是9

Answer 4

由题意：a²=16，b²=9
则c²=a² + b²=16+9=25
∴|F1F2|²=(2c)²=4c²=4•25=100
由双曲线的定义：||PF1| - |PF2||=2a
两边平方：(|PF1| - |PF2|)²=4a²
展开：|PF1|² - 2|PF1|•|PF2| + |PF2|²=4•16
∵∠F1PF2=π/2
∴由勾股定理：|PF1|² + |PF2|²=|F1F2|²
∴100 - 2|PF1|•|PF2|=64
则|PF1|•|PF2|=18
∴S△F1PF2=(1/2)•|PF1|•|PF2|
=(1/2)•18=9