二维随机变量
例：研究某地区学齿受前儿童发育惰况对这-地区儿童进行抽查每个儿童测其身高H，体重W。
此时 都是定义在样本空间 上的。
那么(H,W)构成了一个向量，H,W均是随机变量，这样就构成了关于e的二维随机变量(向量)。
定义设随机试验E的样本空间为 设 是定义在 上的随机变量，由它们构成的向量 称为二维随机向量或二维随机变量。
若 ,是定义在同一个样本空间 上的 个随机变量，则称 是n维随机变量， ，称为第 个分量。
研究思路:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于它们二者的相互关系。
对于整体(X,Y):联合分布：联合分布律和联合概率密度，有共同的连和分布函数。
对于单独个体：对X,Y单独概率，就可以得到分别关于X,Y的边缘分布，然后可以考虑到X与Y之间的关系之间的条件分布。
对于一维随机变量，通常考虑
对于二维随机变量，通常要满足 实际上就定义了关于x,y的二元函数，实际上就是x,y分布函数，因此 称为二维随机变量 的联合分布函数。
1.定义设(X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y，称二元函数
为二维随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。
注: 是事件 和 同时发生的概率。
如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则
分布函数F(x,y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点左下方的 无穷矩形域 内的概率。
（1）单调性：(固定其中一方，来研究)
固定y，当 时,研究
此时 ， 故 同理，
固定x，当 时,研究
此时 ， 故
结论： 是关于x和y的单调不减函数！
（1）有界性、极限性质：
有界性：
极限性质：
固定y:
固定y:
无法确定
无法确定
（3）右连续性：
关于x右连续
关于y右连续
（4）不等式性质：
对任意的
1.定义若二维随机变量 只能取有限对值或可列对值 ，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。
2.联合分布律:
称 为二维离散型随机变量 的(联合)分布律。
设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 在 中等可能地取一整数值。试求 的分布律。
解：
联合分布率：P(AB)=P(A)·P(B|A)(乘法公式)：
设 的联合分布律为 ,
则 的联合分布函数为
其中和式是对一切满足的 的 求和。
1.定义:对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果
存在非负函数f(x,y),使得对任意x,y有
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，记为 .
(4)设G是平面上的某个区域，则
[注]这是计算概率，及求随机变量函数的分布的依据.
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1)求常数c;
(2)求分布函数 ;(3)求概率
(1):解：由于 故 ,
又因为 ,因此
由 的性质可知：
，从而满足
因此，
(2) 解：
题中, 位于第二,三,四象限时
而当(x,y)位于第一象限时，
综上所述：
(3)解：求
因为 :平面上随机点坐标，
表示点落到纵坐标小于等于横坐标的部分的概率。
设这一块区域为D，那么
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}。设 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量 叫做n维随机向量或n维随机变量。
对任意的n个实数 ,n元函数
称为n维随机变量 的分布函数。 【注】：与二维随机变量的分布函数的性质类似。
