Question

高中数学：一道考察单调性的函数题（填空题）

已知函数f(x)=xsinx，现有下列命题，问哪些是真命题
1.该函数的最小正周期是2π
2.点（π，0）是该函数的图像的一个对称中心
3.该函数在（0，π/2）上单调递增，在（-π/2，0）上单调递减

要给出解析过程~~
2楼的，你最后的结论是单调递增吗？那命题3应该是假命题啊~他最后说的是递减~

Answer 1

1假，理由：f（X）=ksinX是周期函数（k为常数），但X是变量，f（X）=XsinX不是周期函数，不存在最小正周期。
2假，理由：f（X）=XsinX是关于Y轴对称的轴对称图形，不存在对称中心。
3真，理由：递增显而易见，递减：X是递增，sinx也是递增，但是X和sinx都是负值，Xsinx=绝对值Xsinx，X的绝对值单调递减，sinx的绝对值也单调递减，所以绝对值xsinx是单调递减，即xsinx是单调递减的

Answer 2

该函数不是周期函数，也不是对称函数，命题3正确

Answer 3

1.假命题.
原因说明:最小正周期:f(x+最小正周期)=f(x).
f(x+2π) - f(x) = (x+2π)sin(x+2π) - xsinx = 2πsinx,
即f(x+2π) - f(x)不恒等于0,
所以该函数的最小正周期不是2π.

2.假命题.
原因说明:对称中心点（π，0）:f(x-π) + f(x+π) = 0.
f(x-π) + f(x+π) = (x-π)sin(x-π) + (x+π)sin(x+π) = -2xsinx,
即f(x-π) + f(x+π)不恒等于0,
所以点（π，0）不是该函数的图像的一个对称中心.

3.真命题.
证明:
1)设x1,x2在（0，π/2）上,并且x1>x2.
由函数图像分析,在（0，π/2）上,sinx>x.
f(x1) - f(x2) = x1sin x1 - x2sin x2 > x1^2 - x2^2 > 0.
则f(x1) > f(x2),即在（0，π/2）上单调递增.

2)由总体假设x1,x2在（-π/2，0）上,并且x1>x2.
由函数图像分析,在（-π/2，0）上,sinx<x.
f(x2) - f(x1) = x2sin x2 - x1sin x1 < x2^2 - x1^2 < 0.
则f(x1) > f(x2),即在（-π/2，0）上也单调递增.