Question

不等式的题

不等式x^2+y^2+z^2>=ax(y-z)对所有实数x,y,z成立，求实数a的值的范围

求过程解析

Answer 1

根据一元二次不等式恒成立的条件
x²+y²+z²≥ax(y-z)可化为
x²-a(y-z)x+(y²+z²)≥0，
由题意，[-a(y-z) ]²-4(y²+z²)≤0恒成立，
即（a²-4）y²-2a²zy+(a²-4)z²≤0恒成立，
∴a²-4<0且（-2a²z²-4(a²-4)²z²≤0恒成立，
∴a²<4且（a²-2）(a²+2) ≤0，
即a²<4且a²≤2，
∴a²≤2，-√2≤a≤√2，
因此，实数a的值的范围是[-√2，√2].
谢谢二楼的发现我的计算错误.

Answer 2

等式2边乘以2，移项，做平方项可得到如下不等式
（x-ay）^2+（x+az）^2+（2-a^2）y^2+（2-a^2）z^2>=0
不等式对所有实数x,y,z成立，只要a^2<=2即可
可以自己推到下，这种东西自己做出来才有感觉！
哈哈 一楼的不用客气啊 我数学系的 不知你是

Answer 3

由x^2+y^2+z^2>=ax(y-z)得到：x²-ax(y-z)+y²+z²>=0;
所以：∆=a(y-z)²-4y²-4z²<=0;即：(a²-4)y²-2a²yz+(a²-4)z²<=0;
所以：∆=(2a²)²-4(a²-2)²<=0,得到：a²<=2;
所以a的范围是：-√2<=a<=√2.

Answer 4

【注：可化为关于某个字母的一元二次不等式来解】解：x²+y²+z²≥ax(y-z)可化为x²-a（y-z)x+(y²+z²)≥0.由题设可知，该关于x的不等式的⊿=[a(y-z)]²-4(y²+z²)≤0.该不等式又可化为(4-a²)y²+2a²zy+(4-a²)z²≥0.由题设可知，该关于y的二次不等式的⊿=（2a²z)²－4(4-a²)²z²≤0.且4-a²＞0.即z²[a^4-(4-a²)²]≤0.且4-a²＞0.(因z²≥0)===>a^4≤(4-a²)²,且a²＜4.===>a²≤2.===>-√2≤a≤√2.故a∈[-√2,√2].