Question

请问这题怎么用变量代换求方程的通解

要有过程，谢谢！

Answer 1

微分方程是齐次方程。解答如下

Answer 2

设y=ux,则dy=xdu+udx,
原方程变为ux^3dx-x^3(1+u^3)(xdu+udx)=0,
两边都除以x^3,整理得
u^4dx=x(1+u^3)du,
分离变量得dx/x=(1+u^3)du/u^4=[u^(-4)+u^(-1)]du,
ln|x|+lnc=(-1/3)u^(-3)+ln|u|,
cx=ue^[(-1/3)u^(-3)],
即cx=(y/x)e^[(-1/3)(x/y)^3],
即ye^[(-1/3)(x/y)^3]=cx^2.

Answer 3

分享一种解法。
显然，y=0，y=0是原方程的解。当x≠0、y≠0时，将原方程整理，有dy/dx=x²y/(x³+y³)。
令y=ux。∴y'=u'x+u。∴u'x+u=u/(1+u³)。∴(1+u³)du/(u^4)=-dx/x。
两边积分，有(1/3)/u³=ln丨u丨+ln丨x丨+c。∴Cy=e^[(1/3)(x/y)³]。
∴原方程的解为，x=0，y=0；x≠0、y≠0时，Cy=e^[(1/3)(x/y)³]，C为常数。