Question

正交矩阵的行列式?

Answer 1

正交矩阵的行列式：

AA^T=E，取行列式为|A||A^T|=1，由于|A^T|=|A|，因此|A|^2=1，于是|A|=1或－1。

设A是正交矩阵：

则 AA^T=E。

两边取行列式得：|AA^T| = |E| = 1。

而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2。

所以 |A|^2= 1。

所以 |A| = 1 or -1。

矩阵性质：

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）