Question

线性代数之——行列式及其性质

Answer 1

方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 可逆的时候，其逆矩阵 的行列式为 。

行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。

对于上述矩阵，如果行列式 为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为 和 ， 主元的乘积就是行列式的值 。

行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方阵的行列式， 的行列式记作 或者 。

由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时， ；当有偶数次行交换时， 。

若某一行乘以 ，行列式就也乘以 。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。

这不意味着 ， 是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 。

这就像面积或者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。

利用性质 2，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。

在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有 。

利用性质 5，将全零行加上另外一行。

利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。

消元过程会让 变为 ，如果 是不可逆的，那么 中一定有全零行，其行列式为零。如果 是可逆的，那么 中的对角线为主元，其行列式为对角线的乘积，也即主元的乘积。

如果 ，那么有 ， 为对角线上为 1 的下三角矩阵，因此有 ，而 ，所以 。

一个简单的证明过程如下所示：

对比以上两项，置换矩阵的逆等于转置，所以有 ，因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素，因此行列式不变，所以有 ，所以有 。

因此， 任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去 。比如，两列交换会改变行列式的符号；两列相同则行列式为零。

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