Question

分数是什么？

Answer 1

提起分数，我们都会说：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。对于这样的定义，学生基本上也是张口就来，以至于当他们遇到分数表示数量的问题时，就显得有些不知所措，难以理解或接受这种表示量的大小的分数。回顾我连续多年教学六年级的经历发现：学生对分数的理解存在很严重的重率而轻量的现象，以至于当他们遇到诸如以下题目时，根本搞不清楚是怎么回事：

两根同样长的铁丝，第一根用去4/5，第二根用去4/5米，哪一根用去的长？

一堆煤重3/4吨，用去一部分后还剩下2/3，剩下多少吨？

一堆煤重3/4吨，用去2/3吨，剩下多少吨？

学生很困惑，怎么煤的数量会是3/4吨，在他们看来，这个吨数应该是整数过或小数，怎么会用分数表示？教学中也经常遇到这样的现象，某些题目的结果算出来是4/5千克，8/11公顷这样的分数时，学生就难以确定自己的解答是否正确，其理由就是：结果怎么会是分数？

另一种现象：对于表示率的分数，例如：甲班人数的3/5一定比乙班人数的2/5多。部分学生认为3/5大于2/5，所以这种说法是正确的。

而且本周作业中出现这样一个题目：

一堆煤有15/16吨，用去了1/3,用去了（  ）吨，还剩下这堆煤的（    ）。

对于第一问，学生的正确率较高，达87.3%，但第二问的正确率却仅有30.4%，有58.2%的学生做第二问时是用15/16－15/16×1/3来计算的。看到这样的答案，使我又想到了那个经典的题目：

3吨煤平均分成5份，每份是（  ）吨，每份是这些煤的（  ）。这个题目，相必教过的老师都有感触，常错常讲，常讲常错，总会有学生把这两个问题混淆不清。

可见，学生对于分数的认识，存在很严重的“量”、“率”不分的现象，对分数的理解也是一种机械的概念学习，或者说就是小和尚念经---有口无心式的学习。为此，我专门用了一节课的时间帮学生理清分数量和率不同意义。具体教学过程如下：

一、

说一说2/5米表示的意思。

生：把1米平均分成5份，表示这样的2份。

师：那也就是说，2/5米表示1米的2/5,也可以说1米的2/5是2/5米。

二、

口答（1米的2/5是2/5米，那么2米、3米、4米呢？）

1米的2/5是（    ）米

2米的2/5是（    ）米

3米的2/5是（    ）米

4米的2/5是（    ）米

师：同样都是2/5，怎么结果都不一样啊？

生：它们的单位1不同。

（这里其实可以让学生自己尝试用自己的方法来解释一下，可以用画线段图的方法，或者教师制作课件，通过数形结合，使学生直观地看到：单位“1”不同，它的2/5也不同。

师：可见，同样都是一条线段的2/5,但由于线段的长度不同，也就是单位“1”不同，所以它们的长度也不相同。看来，这个长度是根据单位“1”的变化而变化的。）

师：你们的意思是最后这个结果是根据单位1的变化而变化的，是吗？

师：那你能具体地说一说它是怎么随着单位1的变化而变化的？

生：单位1大了，结果也大，单位1小了，结果也小。

师：总结的很好！不管单位1怎么变化，什么都是不变的？

生：2/5

师：2/5其实就是表示这一部分与整体（总长度）之间的一种？（关系）。

三、

师：可见，2/5米和2/5表示的意思一样吗？

生：不一样，2/5米是1米的2/5，2/5不一定非得是1米的2/5，也有可能是2米，3米或4米的2/5。

生：2/5米是不会变的，而2/5表示的是这一段占总长度的2/5,它的长度会随着总长度的变化而变化。

师：出示：选择合适的数填空。

    2      0.85    2/5

一张单人床的面积大约是（    ）平方米

一支铅笔的价格是（    ）元

一根绳子长（    ）米，用去了它的（    ）

前两个题目没有问题，都能正确填出。第3题：

生：一根绳子长2米，用去了2/5.

生：一根绳子长0.85米，用去了2/5.

师：一根绳子长2/5米，可以吗？

生犹豫后认为可以：一根绳子长2/5米，用去了它的2/5.

师：通过完成这个题目，你有什么发现？

生：绳子的长度可以填整数、分数、小数都行，但用去了几分之几，只能填分数。

师：那请你想一想，用去了几分之几，为什么只能填分数？

生：这表示的是用去的与绳子总长度之间的关系。

师：看来，2/5既可以绳子的长度，又可以表示部分与整体之间的关系。那该怎样区别哪个表示的是绳子的长度，哪个表示的是一种关系呢？

生：带单位的2/5米表示的是长度，不带单位的2/5表示的是一种关系。

师：同学们观察的真仔细。2/5米带有单位，它就和之前学过的2米，0.85米一样，表示的是一个具体的数量，而且这个数量不会变化。而2/5没有带单位，就表示其中一段与总长度之间的关系，这个时候就可以把这个分数叫做分率。所以，分数既可以表示数量，又可以表示分率。

现在谁能说一说：表示数量的分数和表示分率的分数有什么不同？

四、

1、出示：第一根绳子长3米，用去2/3米，

      第二根绳子长3米，用去2/3，

这两根绳子用去的一样多吗？

生独立解答，汇报。

将3米改为4米、6米、15米、0.9米，学生依次回答。

师板书：

绳长        用去2/3米          用去2/3

3米          2/3米              2米

4米          2/3米              8/3米

6米          2/3米              4米

15米          2/3米              10米

0.9米          2/3米              0.6米

师：通过这组练习，你有什么发现？

反思：这一环节的设计有些多余。主要还是担心学生难以理解，总想牵着学生小步走，于是一节课就这样被肢解成一个个的小碎片，其实当学生认识了数量和分率的不同，完全可以尝试让学生独立去解决以下的问题：

两根绳子的长度都是3米，第一根用去2/5米，第二根用去2/5。哪一根用去的多？

学生可能出现的方法有：计算，说理。在这里，如果学生能讲到：2/5米是1米的2/5,第二根是3米的2/5,其思维水平应该是高于通过计算来判断的那一部分同学的。

2、出示：两根同样长的绳子，第一根用2/5，第二根用去2/5米，哪一根用去的多？

生：第一根。（这是学生的正常反应，学生受刚才思维定势的影响，认为第一根长）

此时，教师要做的就是静静地等待，只要学生真正理解了分率和数量的不同，一定会有学生提出质疑的。

生：无法确定。因为绳子的长度可能是1米，也可能大于1米、或小于1米。

部分学生还没有听懂，可以让听懂的同学再解释一下。

通过其他同学的解释，学生恍然大悟：对呀，这里只是说同样长，却不知道具体的长度是多少，如果都是1米长，那么2/5米和2/5都是1米的2/5，如果大于1米，那么2/5米小于绳长的2/5，如果小于1米，那么2/5米就大于绳长的2/5.在这里培养学生思维的广度，适时渗透分类讨论的思想。这一结论，不是老师直接告知的，而是学生通过思考、交流自己悟出来的。想必，这样的结论他们会记得更牢固些吧。

五、拓展

师：如果把2/5改为1/4、2/7，那么又该怎么选择答案呢？

生：还是一样的。这里只是和绳子的长度有关，跟用去的分数的大小没有关系，只要不是假分数就行。

师：为什么不能是假分数？

生：一根绳子是单位“1”，用去的不可能超过1.

师：如果想把这里的两根绳子换成两根彩带、两根铁丝，可以吗？

  （可以），还可以换成什么？

生：两包糖、两张纸、两块布……

师：好，那就请你任选一种物品和一个分数，自己编一道这样的题目，并想一想，自己编的这道题，应该选择哪个答案？

课后思考：

一根绳子，用去3/5米后，还剩下3/5，用去的和剩下的比较，（    ）

A、用去的长    B、剩下的长    C、一样长  D、无法确定

反思：本节课针对学生学习中对于分数“量”“率”意义不分的问题，我引导学生从“说2/5米表示的意义”引入，通过“同样都是2/5，为什么结果不同”这一问题的发出，引发学生主动思考，自觉去探究、辨析和发现2/5米和2/5的不同，真正把学生推到了前台、推到了学习的主体地位，学生的学习效果较好。但在这个过程中，感觉课堂不是特别开放，课堂只是凸出了师生互动，但对于生生互动这一块关注的不够，没有给予学生更多的机会，应该是教师引导学生主动去质疑、争辩、补充、修正，在师生、生生多维互动中实现教师和学生的共同成长。

学生在学习中为什么会出现“量”、“率”不分，重“率”而轻“量”的问题？究其原因，应该是现行教材中分数的定义，突出的是率的定义，即部分与整体之间的一种比的关系，而对于分数量的定义，却很少提及。这样就很容易给学生造成一种思维定势，或者说片面的认识。在学生的心目中，只是将分数当做两个数量比较的一个结果，却没有把分数当做数，没有将分数归纳到自己原有数系的认识中。其实，在我看来，分数从本质上讲应该就是一种数，和整数、小数一样，都可以用来表示数量的大小。因此，在教学中，应设计相应的活动，让学生体验，感知分数是一种新的数，其本质就是分数可以用来表示整数无法表示的结果，它就是自然数的扩充，是一种新的数。

数学的发展，不是用破坏和取消原有理论的方式进行的，而是用深化和推广原有理论的方式，用以前的发展做准备而提出新的概括理论的方式进行的。由自然数到分数，有许多重要的变化，创造分数的过程中形成了许多新观念，使得分数具有许多特殊性。但不可否认的是，分数仍然是“数”，前期学生在自然数学习中形成的“数”的观念在分数教学中应该延续，这样有利于对分数是数的认可，有利于对分数的意义的理解，也有利于建构起分数与数之间关系的结构体系，还有利于建构起分数内部的结构体系。