Question

无穷个无穷小的和是无穷小吗

Answer 1

无穷个无穷小的和不是无穷小的。因为有限个无穷小的和一定是无穷小，而无限个无穷小的和不一定是无穷小，这和正负没有关系。例如n趋于无穷大时1/n是无穷小，但是n个1/n相加（无数个无穷小之和）=n*(1/n)=1不是无穷小。
无穷小即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
所以有限个无穷小之和仍是无穷小；有限个无穷小之积仍是无穷小；无穷多个无穷小之和不一定是无穷小；无穷多个无穷小之积不一定是无穷小。