Question

求助，高一，数学

5.已知向量m=（√3sinx，cosx），n=(cosx,cosx),p=(2√3,1)
(1)若m//p，求sinx×cosx的值 （2）设△ABC的三遍为a,b,c满足b2=ac,且b所对的角O的取值集合为M，当x属于M时,求函数f(x)=mn

Answer 1

(1)∵m//n ∴√3sinx * cosx=(cosx)^2
(cosx)^2 (√3tanx-1)=0
cosx=0 或 tanx=√3/3
cosx=0时， sinxcosx=0
tanx=√3/3, x=2kπ+π/6 sinxcosx=√3/4

(2)由于：b^2=ac
则由余弦定理，得：
cosB
=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a^2+c^2-ac)/2ac
由均值不等式，得：
a^2+c^2>=2ac
则：
cosB=(a^2+c^2-ac)/2ac
>=(2ac-ac)/2ac
=1/2
即：cosB>=1/2
由于：余弦函数在第一象限内单减
且cos（π/3）=1/2
则：0<B≤π/3
f(x)=m*n
=√3sinx * cosx + (cosx)^2
=(√3sin2x)/2 + (cos2x)/2 +1/2
=sin(2x+π/6) + 1/2

0<x≤π/3, π/6<2x+π/6≤5π/6
1/2≤sin(2x+π/6)≤1
1 ≤f(x)≤3/2

Answer 2

(1)m//p: √3sinx/2√3=cosx/1
即sinx/2=cosx 。同时sin²x+cos²x=1
∴sin²x=4/5
sinxcosx=sin²x/2=2/5

(2)f(x)=m.n=√3sinxcosx+cos²x=√3/2sin2x+1/2cos2x+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
余弦定理CosB=(a²+c²-b²)/2ac=(a²+c²-ac)/2ac≥(2ac-ac)/2ac=1/2
∠B既是∠O, 0<∠O≤π/3

∴f(x)=sin(2x+π/6)+1/2 x∈(0,π/3]