Question

函数的对称性问题

函数f(x)=(5x-4)/（x+a）,满足f(x)+f(2m-x)=10;若m=-1,求解f(x)的解析式.
观点一：f(x)关于(-1,5) 对称，所以a=1，f(x)=(5x-4)/(x+1).（把f(x)=(5x-4)/(x+1)代入f(x)+f(-2-x)=10后，验证正确）

观点二：在m=-1的基础上，再令x=-1的话，代入m=-1时的f(x)+f(-2-x)=10可以得到2f（-1）=10，可以算出a等于-4/5，经过验证把a=-4/5代入f(x)+f(-2-x)=10这个普遍的式子中最后可以得到恒等于10的结论。（经验证正确，但验证的计算量比较大）

请问大家以上两种计算过程那种才是正确的呢？还是都正确呢？劳烦大家解释得详细一些！

Answer 1

f(x)=(5x-4)/（x+a）=-(5a+4)/(x+a)+5
①当5a+4=0即a=-4/5时，f(x)=5为常函数，显然满足题意；
②当5a+4≠0即a≠-4/5时，f(x)的图象可由反比例函数y=-(5a+4)/x的图象平移变换得到，其对称中心为（-a，5），
∵f(x)+f(-2-x)=10恒成立，∴f(x)的图象关于（-1,5）对称，得a=1.
综上，a=-4/5或a=1.

Answer 2

y=f(x)=(5x-4)/(x+a)=5-[(5a+4)/(x+a)].===>(x+a)(y-5)=-(5a+4).故曲线f(x)关于点(-a,5)对称。再由f(x)+f(-2-x)=10.特值。令x=0，得a=1,a=-4/5.（1）当a=1时，可验证对的。（2）当a=-4/5时，易知，当x≠4/5时，恒有f(x)=(5x-4)/[x+(-4/5)]=5.也是对的。可能你验证时不当。计算量大了点。

Answer 3

如果令x=0（-1之外的一个就行）,可求出a=1或者-4/5.所以两个都正确.

因此楼主所提观点一和观点二都不全面。

观点一的错漏在于“f(x)关于(-1,5) 对称，所以a=1”不正确，应该是:f(x)关于(-1,5) 对称,所以a=1或则a=-4/5.

观点二代入的点太特殊。

Answer 4

观点二，把a=-4/5代入f（x），得f（x）=（5x-4）/（x-4/5）=5，x≠4/5

所以对称中心不是（-1，5），而是（4/5，5）了