Question

求曲面的面积 锥面x^2+y^2=1/3z^2 被平面x+y+z=2所围部分

Answer 1

锥面方程变为z=√[3(x^2+y^2)],

p=∂z/∂x=6x/{2√[3(x^2+y^2)]}=√3x/√(x^2+y^2),
q=∂z/∂y=√3y/√(x^2+y^2),
√(1+p^2+q^2)=√[1+(3x^2+3y^2)/(x^2+y^2)]=2,
锥面x^2+y^2=1/3z^2 被平面x+y+z=2所截的曲线是椭圆:
3(x^2+y^2)=[2-(x+y)]^2,
作正交变换:x=(u+v)/√2，与（-u+v)/√2，上式变为
3(u^2+v^2)=[2-√2v]^2,
3u^2+v^2+4√2v+8=12,
u^2/4+(v+2√2)^2/12=1,
其长半轴a=2√3；短半轴b=2，
面积为πab=4√3π，
所以所求曲面面积=∬<D>√(1+p^2+q^2)dxdy=8√3π。
仅供参考。