Question

高数题，在线等答案。谢谢大家

Answer 1

答1题：
对于辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2)，在区间[0，a/2]上，函数F(x)满足闭区间上连续函数的零点定理的条件，即，F(x)在闭区间[0，a/2]上连续，并且在两个端点0，a/2处的函数值异号：
F(0)F(a/2)<0，于是由零点定理成立着，在(0，a/2)中，即(0，a)中，存在点 ξ ，使得F(ξ)=0。证毕。

答2题：
设f(x)=lnx，在区间[a，b]上，f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，于是成立
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，即，
lnb-lna=(1/ξ)(b-a)，其中a<ξ<b，在式中放缩 ξ 即得证
(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a。证毕。

Answer 2

设辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2)，在区间[0，a/2]上，函数F(x)满足闭区间上连续函数的零点定理的条件，即，F(x)在闭区间[0，a/2]上连续，并且在两个端点0，a/2处的函数值异号：
F(0)F(a/2)<0，于是由零点定理成立着，在(0，a/2)中，即(0，a)中，存在点 ξ ，使得F(ξ)=0。

设f(x)=lnx，在区间[a，b]上，f(x)满足拉格朗日中值定理的条件
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，
lnb-lna=(1/ξ)(b-a)，其中a<ξ<b，在式中放缩 ξ 即得证
(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a。

Answer 3

第1题考虑辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2),在两个端点0，a的符号，
因为F(0)F(3a/2)<0,由零点定理得证

第2题考虑辅助函数f(x)=ln x在区间(a,b)可微，在[a,b]连续，应用Lagrange中值定理得到，1/b<ln xi=(ln b-ln a)/(b-a)<1/a,得证