Question

高一数学解三角形应用题

Answer 1

解：先求BC长度
易得∠ABC=45度，∠CAB=120度，AC=2
由正弦定理：AC/sin∠ABC=BC/sin∠CAB
即：2/sin45=BC/sin120
从而BC=√6

设追到走私船所有时间为t，则
DC=10√3t
BD=10t
DC:BD=√3：1

令BD=x,则DC=√3x
在△BDC中，由余弦定理：
cos∠CBD=(BC^2+DB^2-DC^2)/2BC*DB
即 cos120=-1/2=[6+x^2-(√3x)^2]/2*√6*√3x
解得:x=√6

从而BD=DC，又∠CBD=120度，所以∠DCB=30度 即沿北偏东60度追能最快追上
此时所用时间t=DB/10=√6/10

Answer 2

这个数据比较不好算，思路说一下。
假设需要t小时可以追上，则CD=10√3t,AD=√3-1+10t,
ac=2,角CAD=120，用余弦定理解三角形ABC.BC=√7,求出ABC的正弦，这样可以求出CBD的正弦（CBD=165-CBA),在CBD中用余弦定理可以解出t.

Answer 3

点A到点B所在水平面的距离为|AB|cos45°=(sqrt(3)-1)sqrt(2)/2,
cos75°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(sqrt(3)-1)sqrt(2)/4,
点A到点C所在水平面的距离为|AC|cos75°=(sqrt(3)-1)sqrt(2)/2=|AB|cos45°,即 点B与点C处于同一水平面上。
于是，|BC|=|AC|sin75°+|AB|sin45°=sqrt(6)。

如图，设缉私船沿BD方向最快并在D处追上走私船，要求角BCD和用时t。则|BD|=10t,|CD|=10sqrt(3)t.
在三角形BCD中，余弦定理，|CD|^2=|BC|^2+|BD|^2-2|BC|*|BD|cos120°,
==> 100t^2-5sqrt(6)t-3=0 ==>t=sqrt(6)/10, t=-sqrt(6)/20(舍去)。
由 cos(角BCD)=(|BC|^2+|CD|^2-|BD|^2)/(2|BC|*|CD|)=sqrt(3)/2,
得 角BCD=30°。
故方位角为角BCD=30°，用时t=sqrt(6)/10小时即为所求。