Question

狭义相对论质能方程的数学推导

Answer 1

一、前言

继写完 《狭义相对论的数学推导》 和 《狭义相对论的两个时空效应》 两篇文章后，一直想把爱因斯坦留给后人在其狭义相对论里最著名的质能方程也做一个推导

在 经典力学 的世界观中，物体的能量和质量是两个完全不同的概念；而在 狭义相对论 的世界观中，爱因斯坦将能量的概念做了推广并得出了质量和能量准确的数学关系—质能方程

二、质量的定义

考虑如下实验场景：

我们用同样大小的力F施加到两个不同的静止物体m1和m2上，目的是使得这两个物体达到相同的加速度a，花费的时间也就不同，显然，由于物体初始状态都是静止的， 耗时较长 的物体表明它具有 较大的惯性 ；而 耗时较少 的物体表明它具有 较小的惯性

由于在 相同力的作用下 ，根据牛顿第二定律

物体的加速度和它的质量成正比，因此可以得出： 物体的质量可以度量物体的惯性 ，即

三、能量的定义

在物质的一切物理属性中， 运动是其最基本的属性 ，世间万物均在不停运动（包括宏观世界里的人，或微观世界里的电子），例如星球的 公转周期 、火车的 行使速度 、雨滴的 下落距离 、风车的 转动频率 、电子的 自旋特征 等，这些所有物质的不同物理属性，都可以用运动来具体表示

物质因其运动而有了能量 ，即

能量的形式包括：力学的动能、势能、重力势能、弹性势能、引力势能、化学能、热能、电能、核能等

四、经典力学—动能定理的数学推导

我们考虑其一般形式，一个物体在合外力F的作用下，从 静止状态运动到速度达到v 的这个运动过程中，其动能Ek的表达式写为：

我们将合外力F和位移的微元dx均写为速度v的形式，且在经典力学中，物体的质量m是一个常量，即可推导出动能定理的数学表达式为：

动能定理适用于恒力、变力、分段、全程做功等， 可以用来定量的描述物体在运动过程中，合外力F因运动做功所带来的动能变化量 ，但是依旧没能描述出能量和质量的数学关系，这二者在经典力学里还是没有关联

五、狭义相对论—质能方程的数学推导

接下来我们从狭义相对论的世界观里，来寻找能量和质量的数学关系，仍然从动能的基本表达式出发

这里我们将合外力F写为动量P对时间t的导数，即

位移dx写为速度v的形式，即

将上面两个式子带入动能的表达式，得

这里速度v和动量P都是变量，由分部积分法，得

由狭义相对论知识，物体 运动的质量m和其静止的质量m0 之间的关系为

结合动量P的定义为

将P带入动能的表达式，得

上述表达式里定积分的函数原型为

带入求解定积分原型，得

而上述表达式的第一项，就完整包含了狭义相对论中物体运动中的质量表达式，则上述方程写为

至此我们得到了在狭义相对论的世界观中，动能Ek的数学表达式

因为在狭义相对论世界观里 ，一切物理属性具有相对性效应，所以物体静止时也具有能量，我们称之为静能 ，其表达式E0为

我们设E来表示物体在运动总过程里所具有的的总能量，则E的表达式为其 静能和动能之和 ，即

至此，我们就得到了物体在运动过程中， 总能量E和质量m的关系—质能方程

六、质能方程的物理意义

由上述推导出的质能方程表达式，我们可以看到

其中第三点，我们可以计算出，每一千克的质量，就可以释放出9×10^16焦耳的能量，相当于2100万吨的TNT爆炸所释放出的能量

七、质能方程从狭义相对论回到经典力学

接下来我们来证明， 在经典力学的世界观里，从狭义相对论推导出的质能方程仍然适用

在经典力学里，有

由于在经典力学里，质量是一个常量，与物体是否运动无关 ，则我们从质能方程的动能表达式里，没有化简出运动质量的表达式出发，即

我们将上式改写为

观察上式，存在一个幂次项

由于幂次项很难计算，因此我们用 多项式拟合函数 的知识，构造这个幂次项的幂函数原型为

我们对f(x)进行在 零点的泰勒展开 ，得

可以看到f(x)属于 递增函数 ，我们将a=-1/2, x=-v^2/c^2带入，得

我们取多项式的前两项来近似这个幂次项结果，即

将幂次项的近似值带入动能的表达式，得

这正是经典力学中的动能表达式，至此，我们可以看出：

八、案例解析

最后我们来看一个案例

解(1)：

一个原子的单位质量为碳12原子质量的1/12，用u来表示，即

则根据质能方程，1u释放的能量为

将其化为MeV为单位，即

则太阳每一次核反应的质量亏损为

由质能方程计算出太阳每一次聚变所释放的能量为

解(2)：

由质能方程计算出太阳每一秒减少的质量为