Question

高中数列中一道比较有难度的题目，请达人帮忙想一想

Answer 1

不妨设a=[k+根号(k^2-4)]/2 (根号前的正负对结果没影响,因为a'=[k+根号(k^2-4)]/2=a^(-1) )
那么问题转换为数列A[t]=a^t+(1/a)^t
构造数列B[0]=2,B[1]=k,B[t+2]=kB[t+1]-B[t],可以算出B[t]=a^t+(1/a)^t=A[t]
那么只需考察B[t]的第2^n项即可
B[2]=k^2-2=B[1]^2-2,B[4]=k^4-4k^2+2=B[2]^2-2,B[8]=...=B[4]^2-2
于是B[2^(n+1)]=B[2^n]^2-2
由于B[2^n]≡7(mod 10),那么B[2^(n-1)]^2-2≡7(mod 10),那么B[2^(n-1)]^2≡9(mod 10)
可得B[2^(n-1)]≡3(mod 10)或B[2^(n-1)]≡7(mod 10)
对于B[2^(n-1)]≡3(mod 10),B[2^(n-2)]^2-2≡3(mod 10),那么B[2^(n-2)]^2≡5(mod 10)
于是B[2^(n-2)]≡5(mod 10),从而B[2^(n-3)]^2≡7(mod 10),不可能
于是B[1]=k有3种可能,个数是5,3,7
(B[1]的个位是5的话,B[2]的个位是3,B[s]的个位是7,s>2)
(B[1]的个位是3的话,B[s]的个位是7,s>1)
(B[1]的个位是7的话,B[s]的个位是7,s>0)