Question

高等数学等价无穷小替换时，sinx~x，那么（sinx）2可以替换为x2（平方）吗？

Answer 1

高等数学等价无穷小替换时，sinx～x，那么（sinx）2可以替换为x2（平方）。

当x→0时，sinx的泰勒展开式为sinx＝x＋o（x）

o（x）指的是x的高阶无穷小，所以当x→0时

可以（sinx）～x当x→0时（sinx）²＝x²＋o（x²）

所以当x→0时，可以（sinx）²～x²。

例题：

limx→0（sinx－tanx）／｛［3√（1＋X＾2）－1］［（1＋sinx）－1］｝

分母部分可以用等价无穷小替换为“X＾2／3＂和”sinx／3

分母替换是正确的，sinx／3可继续替换为x／3．分子这样做：

sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)

所以最终答案为lim{x->0}(-x^3/2)/(x^3/9)=-9/2.

x→0）sinx＋（sinx）＾2→01＋sinx→（1＋sinx）＾2（1＋sinx）＾（1／2）－1→1＋sinx－1→sinx

x无穷小时，1＋sinx和1＋2sinx＋（sinx）＾2非常接近。

其差量sinx＋（sinx）＾2无穷小，因此用1＋2sinx＋（sinx）＾2代替1＋sinx，平方根（1＋sinx）－1，得sinx。

扩展资料

高等数学中所有等价无穷小的公式：

当x→0，且x≠0，则

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx；

x～ln（1＋x）～（e＾x－1）；

（1－cosx）～x＊x／2；

［（1＋x）＾n－1］～nx；

loga（1＋x）～x／lna；

a的x次方～xlna；

（1＋x）的1／n次方～1／nx（n为正整数）；

注：＾是乘方，～是等价于，这是我做题的时候总结出来的．