Question

单位圆乘单位圆是什么空间

Answer 1

定义：在三角学中，单位圆通常是指欧几里德平面直角坐标系中圆心为 （0,0）、半径为 1 的圆。在教科书中，它常常出现在三角函数入门的那几页，并且与称为三角函数线的几条线段在一起，用于定义或解释实数的三角函数值。一般地，在复平面内，n 个 n 次的单位根所对应的点正。

单位圆指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆。
数学性质
1、在复平面（即高斯平面）上，单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。 换句话说， 单位圆上的点表示模长为1的复数， 它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系。
2、单位圆上有自然的群结构： 即弧度的加法群结构。 换句话说，就是模长为1的复数空仿集合 上有一个自然的乘法结构。
3、单位圆诱导了几何反演变换 ， 这和复变函数论的诸多结论密切相关。
4、单位圆是最简单的非单连通 的拓扑空间之一， 常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。
5、单位圆同胚于射影直线， 是拓扑学中洞仔最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。
6、单位圆盘到自身的连续映射一定存在不动点。 这就是著名的布威劳尔不动点定理 。斗颤纤
7、单位圆的群结构诱导了著名的指数映射 ， 和微分几何中著名的陈类（也称陈示性类，因陈省身得名）有着深远的联系